Courbure de la terre du Theorema Egregium

Curvature Earth From Theorema Egregium

Solution:

Les chemins les plus courts sur une surface arbitraire, appelés ( pour -) géodésiques , sont difficiles à décrire explicitement en général. Sur une sphère (une bonne approximation de la surface de la terre en ce qui concerne la géodésie), cependant, ce sont des arcs de grands cercles.

Généralement, si un triangle géodésique sur une surface renferme un disque topologique $T$, si $Theta$ désigne l'angle intérieur total de $T$, et si $K$ désigne la fonction de courbure de Gauss, alors $$ iint_{T } K, dA = pi + Thêta. $$ En particulier, si $K > 0$, un triangle géodésique a un angle intérieur supérieur à $pi$, et si $K<0$, a geodesic triangle has interior angle less than $pi$.

Sur une sphère de rayon $R$, on a $K = 1/R^{2}$, donc un triangle géodésique d'aire $A$ a un angle intérieur total $pi + A/R^{2}$. Par exemple, un triangle avec trois angles droits (un huitième de sphère) a une aire 4pi R^{2}/8$ et un angle intérieur total $frac{3}{2}pi$.

La courbure peut être observée dans la pratique : les lignes de longitude sont des géodésiques, alors que les lignes de latitude (sauf l'équateur) ne le sont pas. Si un géomètre souhaite disposer des parcelles (presque) carrées d'un mile, les parcelles s'adapteront bien d'est en ouest (parce que deux lignes de latitude sont séparées par une distance constante), mais pas bien du nord au sud (parce que deux lignes de longitude se rapprochent à mesure que l'on s'éloigne de l'équateur). Par conséquent, à des latitudes modérées, tous les quelques kilomètres, les limites nord-sud des parcelles carrées doivent « courir » vers l'est ou l'ouest pour que les parcelles restent approximativement carrées. Les photographies ci-dessous (propre travail) montrent ce phénomène dans les plaines presque planes de l'est du Texas, prises depuis un avion.

Cela a-t-il quelque chose à voir avec la mesure des triangles et des angles ? Et si oui, quelqu'un peut-il m'aider à relier cela au théorème de Gauss et à la première forme fondamentale ?

Oui. Le fait est que la première forme fondamentale vous permet de mesurer des longueurs et des surfaces dans une surface. De plus, il vous permet de définir quel est l'angle entre deux vecteurs tangents. Le théorème égregium vous dit que toutes ces informations suffisent à déterminer la courbure de Gauss. Par exemple, en utilisant ce qui suit

Théorème (Bertrand-Diquet-Puiseux) : soit $M$ une surface régulière. Si $p in M$, $C_epsilon$ et $D_epsilon$ sont le cercle polaire et le disque polaire en $M$ centrés en $p$ de rayon $epsilon$ (c'est-à-dire les images via $ exp_p$ du cercle et du disque correspondants dans $T_pM$), alors $$K(p) = lim_{epsilon o 0} frac{3}{pi}frac {2pi epsilon - L (C_epsilon)}{epsilon^3} = lim_{epsilon o 0} frac{12}{pi} frac{pi epsilon^2 - A(D_epsilon)}{ epsilon^4},$$où $L(C_epsilon)$ et $A(D_epsilon)$ désignent la longueur du cercle polaire et l'aire du disque polaire. Vous pouvez consulter p. 413$ en Géométrie différentielle élémentaire par O'Neill pour les détails techniques.

Un autre point de confusion : comment puis-je même savoir ce qu'est un triangle sur une surface arbitraire ? Un triangle est formé en reliant trois points avec la courbe qui atteint la distance la plus courte possible entre ces points, n'est-ce pas ? Donc sur une plaine, c'est le segment de ligne normal, mais qu'en est-il des surfaces arbitraires ?

L'analogue des lignes dans le plan, pour les surfaces arbitraires sont appelés géodésiques : courbes qui minimisent localement la longueur de l'arc. Ou de manière équivalente, des courbes $alpha$ qui sont auto-parallèles : $Dalpha'/dt = 0$, où $D/dt$ désigne la dérivée covariante le long de $alpha$. Il se trouve que pour les avions, les géodésiques sont des droites, donc on généralise vraiment les droites. Pour les sphères, les géodésiques sont des grands cercles. Les géodésiques sont décrites en coordonnées par un système d'équations différentielles : $$ddot{u}^k + sum Gamma_{ij}^k dot{u}^i dot{u}^j = 0,$$ où les $Gamma_{ij}^k$ sont les soi-disant symboles de Christoffel du système de coordonnées (et pour le système de coordonnées habituel sur $Bbb R^2$, tous sont nuls, donc les géodésiques sont des lignes) . Vous en apprendrez plus sur les géodésiques au fur et à mesure du cours, mais je suppose que cela vous donnera une idée à ce sujet. Triangles géodésiques sont des triangles sur $M$ dont les côtés peuvent être paramétrés comme des géodésiques, ce qui permet de prouver des théorèmes comme Gauss-Bonnet.

Une façon de penser aux géodésiques sur une surface est qu'elles ressemblent à des lignes droites pour un observateur bidimensionnel vivant sur la surface. Ainsi, ils verront un triangle géodésique comme nous voyons un triangle dans l'espace euclidien $mathbb{R}^2$. Si la courbure gaussienne d'une surface est constante (comme sur des sphères, des plaines ou des pseudosphères) l'observateur bidimensionnel pourrait dessiner des triangles géodésiques de différentes tailles, mesurer l'angle déficit (ou excédent), les brancher au théorème (avec $k_g equiv 0$), et calculer la courbure de Gauss.